Однорідні рівняння

     На  допомогу учням 10-А.
 Під час хвороби Валентини Григорівни  ви можете самостійно опанувати метод розвязування однорідних рівнянь.  Бажаю успіхів!




                                                         Однорідні рівняння

   Однорідними  рівняннями  відповідно  першого, другого і третього  степеня  називаються рівняння виду

                         a sin kx  +  bcos kx = 0,                                        (1)

              a sin²kx +  b sin kx cos kx + c cos²kx = 0,                      (2)

a sin³kx +  b sin²kx cos kx  +  c sin kx cos²kx  + d cos³kx = 0,    (3)       тобто рівняння, в яких  у всіх  доданків  сума  показників   однакова, а права  дорівнює нулю.

        Для розв’язування таких рівнянь  при  а ≠ 0 розглянемо такі  значення х,  при  яких 

 соs кх = 0.                                                                       

 З кожного рівняння  випливає,  що при   соs кх = 0  буде і  sin kx = 0,    цього одночасно бути не може, оскільки            sin²kx + cos²kx = 1.                                                                              

   Значить розв′язками  цих рівнянь  можуть бути  тільки такі  значення х,  при  яких 

 cos kx ≠ 0.    Тому  якщо  при а ≠ 0   поділити  обидві частини   рівняння (1)  на  соs кх,  рівняння (2) – на cos²kx,  рівняння (3) – на cos³kx,  то  не   буде   втрати  коренів.

        В результаті   отримаємо  алгебраїчне рівняння відносно  tg kx.

Наприклад:

1)        2cosx + 3sinx = 0.

Рівняння є однорідним  першого степеня.

- при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки  

 sin²x + cos²x =1.                                                                                

- при cosx ≠ 0.

Поділимо  обидві  частини  на  соsх ≠ 0.                                                   

  Маємо       2 + 3tgx = 0,     tgx = - ,      x = arctg(-) +πn,  n Z,

                                              x = - arctgx  + πn, n Z. 

Відповідь:    - arctgx  + πn, n Z. 

2)  2sin²x – 5 sinx cosx + 3 cos²x = 0.                                                                      

Рівняння є однорідним  другого степеня.

  - при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки      sin²x + cos²x = 1

-  cosx ≠ 0.

Поділимо  обидві  частини  на  соs²х ≠ 0.     

 Маємо  

2 tg²x – 5 tgx  +  3 = 0.

 Оскільки   2 – 5 + 3 = 0,  то  tgx = 1,           tgx = 1,5,

                                              х =   + πn,    х =  arctg 1,5 + πn, n Z.                                                                             

Відповідь:   + πn,    arctg 1,5 + πn, n Z.

3)  8 sin²x + 6cos²x = 13 sin2x.        

  

         8 sin²x + 6cos²x  -  26 sinx cosx = 0,                                                         

   Рівняння є однорідним  другого степеня.

 - при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки       sin²x + cos²x = 1.

-  cosx ≠ 0.

Поділимо  обидві  частини  на  соs²х ≠ 0.       Маємо  

8 tg²x + 6 – 26 tgx = 0,

8 tg²x – 26 tgx  + 6 = 0.

Нехай  tgx = a,   тоді  маємо  8a² – 26a + 6 = 0,     4a² – 13a + 3 = 0,       D = 121,            

   a₁ = 3,  a₂ = .                                                            

  Враховуючи   заміну,    маємо    tgx = 3,      x =  arctg3 +  πn,  n Z,                

                                                          tgx = ,       x = arctg  + πn, n Z.

Відповідь:   arctg3 +  πn,  arctg  + πn, n Z.

    4)  sin²x – 10 sinx cosx + 21cos²x = 0.

Рівняння є однорідним  другого степеня.

- при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки       sin²x + cos²x = 1.

-  cosx ≠ 0.

Поділимо  обидві  частини  на  соs²х ≠ 0.       Маємо  

     tg²x – 10 tgx  + 21 = 0,

 За теоремою Вієта     tgx₁ = 7,                   tgx₂ = 3,

          x₁ = arctg 7 +  πn,  n Z,                    x₂ =  arctg 3 +   πn, n Z.

Відповідь: arctg 7 +  πn,      arctg 3 +   πn, n Z.

   5)  sin²x + 2 sinx cosx + cos²x = 0.

Рівняння є однорідним  другого степеня.

     -  cosx = 0,    sinx = 0, …

-  cosx ≠ 0.

Поділимо  обидві  частини  на  соs²х ≠ 0,  

                       tg²x + 2tgx + 1 = 0,

                      (tgx  + 1)² = 0,     tgx = -1,  x = arctg(-1) +  πn,  n Z,

                                                                    x =   + πn, n Z.

Відповідь:      + πn, n Z.

6)      cos²5x + 7sin²5x =  8 sin5x cos5x.                                                                 

 cos²5x + 7sin²5x -  8 sin5x cos5x = 0,

   Рівняння є однорідним  другого степеня.

  -  cosx = 0,    sinx = 0, …

-  cosx ≠ 0.

Поділимо  обидві  частини  на  соs²х ≠ 0,  

1 +  7 tg²5x  -  8 tgx = 0,

   

7 tg²5x  -  8 tgx  + 1 = 0.

      Оскільки  7 – 8 + 1 = 0,  то   tg5x₁ = 1,                                tg5x₂ = .

                                              5x₁ =   +  πn,  n Z,         5x₂ = arctg +  πn, n Z.                                              x₁ = + n,    n Z,        

 x₂ =  arctg + n,    n Z.

Відповідь:       + n,          arctg + n,    n Z.

7)  sin²x – 2 sinx cosx – 3 cos²x = 0.

Це рівняння є однорідним  другого степеня.

- при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки       sin²x + cos²x = 1.

-  cosx ≠ 0.

Поділимо  обидві  частини  на  соs²х ≠ 0,  

     tg²x – 2tgx – 3 = 0.

    За теоремою  Вієта   tgx₁ = 3,   tgx₂ = 1.

x₁ = arctg3 + πn,  n Z,         x₂ =  +  πn,  n Z.        

Відповідь:   arctg3 + πn,   +  πn,  n Z.