четвер, 2 березня 2017 р.

Однорідні рівняння

     На  допомогу учням 10-А.
 Під час хвороби Валентини Григорівни  ви можете самостійно опанувати метод розвязування однорідних рівнянь.  Бажаю успіхів!




                                                         Однорідні рівняння
   Однорідними  рівняннями  відповідно  першого, другого і третього  степеня  називаються рівняння виду
                         a sin kx  +  bcos kx = 0,                                        (1)
              a sin2kx +  b sin kx cos kx + c cos2kx = 0,                      (2)
a sin3kx +  b sin2kx cos kx  +  c sin kx cos2kx  + d cos3kx = 0,    (3)       тобто рівняння, в яких  у всіх  доданків  сума  показників   однакова, а права  дорівнює нулю.
        Для розв’язування таких рівнянь  при  а ≠ 0 розглянемо такі  значення х,  при  яких 
 соs кх = 0.                                                                       
 З кожного рівняння  випливає,  що при   соs кх = 0  буде і  sin kx = 0,    цього одночасно бути не може, оскільки            sin2kx + cos2kx = 1.                                                                              
   Значить розв′язками  цих рівнянь  можуть бути  тільки такі  значення х,  при  яких 
 cos kx ≠ 0.    Тому  якщо  при а ≠ 0   поділити  обидві частини   рівняння (1)  на  соs кх,  рівняння (2) – на cos2kx,  рівняння (3) – на cos3kx,  то  не   буде   втрати  коренів.
        В результаті   отримаємо  алгебраїчне рівняння відносно  tg kx.
Наприклад:
1)        2cosx + 3sinx = 0.
Рівняння є однорідним  першого степеня.

- при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки  
 sin2x + cos2x =1.                                                                                
- при cosx ≠ 0.
Поділимо  обидві  частини  на  соsх ≠ 0.                                                   
  Маємо       2 + 3tgx = 0,     tgx = - ,      x = arctg(-) +πn,  n Z,
                                              x = - arctgx  + πn, n Z. 
Відповідь:    - arctgx  + πn, n Z. 

2)  2sin2x – 5 sinx cosx + 3 cos2x = 0.                                                                      
Рівняння є однорідним  другого степеня.

  - при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки      sin2x + cos2x = 1
-  cosx ≠ 0.
Поділимо  обидві  частини  на  соs2х ≠ 0.     
 Маємо  
2 tg2x – 5 tgx  +  3 = 0.
 Оскільки   2 – 5 + 3 = 0,  то  tgx = 1,           tgx = 1,5,
                                              х =   + πn,    х =  arctg 1,5 + πn, n Z.                                                                             

Відповідь:   + πn,    arctg 1,5 + πn, n Z.

3)  8 sin2x + 6cos2x = 13 sin2x.        
  
         8 sin2x + 6cos2x  -  26 sinx cosx = 0,                                                         
   Рівняння є однорідним  другого степеня.
 - при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки       sin2x + cos2x = 1.
-  cosx ≠ 0.
Поділимо  обидві  частини  на  соs2х ≠ 0.       Маємо  
8 tg2x + 6 – 26 tgx = 0,
8 tg2x – 26 tgx  + 6 = 0.
Нехай  tgx = a,   тоді  маємо  8a2 – 26a + 6 = 0,     4a2 – 13a + 3 = 0,       D = 121,            
   a1 = 3,  a2 = .                                                            
  Враховуючи   заміну,    маємо    tgx = 3,      x =  arctg3 +  πn,  n Z,                
                                                          tgx = ,       x = arctg  + πn, n Z.
Відповідь:   arctg3 +  πn,  arctg  + πn, n Z.

    4)  sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0.
Рівняння є однорідним  другого степеня.
- при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки       sin2x + cos2x = 1.
-  cosx ≠ 0.
Поділимо  обидві  частини  на  соs2х ≠ 0.       Маємо  
     tg2x – 10 tgx  + 21 = 0,
 За теоремою Вієта     tgx1 = 7,                   tgx2 = 3,
          x1 = arctg 7 +  πn,  n Z,                    x2 =  arctg 3 +   πn, n Z.
Відповідь: arctg 7 +  πn,      arctg 3 +   πn, n Z.

   5)  sin2x + 2 sinx cosx + cos2x = 0.
Рівняння є однорідним  другого степеня.
     -  cosx = 0,    sinx = 0,
-  cosx ≠ 0.
Поділимо  обидві  частини  на  соs2х ≠ 0,  
                       tg2x + 2tgx + 1 = 0,
                      (tgx  + 1)2 = 0,     tgx = -1,  x = arctg(-1) +  πn,  n Z,
                                                                    x =   + πn, n Z.
Відповідь:      + πn, n Z.

6)      cos25x + 7sin25x =  8 sin5x cos5x.                                                                 
 cos25x + 7sin25x -  8 sin5x cos5x = 0,
   Рівняння є однорідним  другого степеня.
  -  cosx = 0,    sinx = 0,
-  cosx ≠ 0.
Поділимо  обидві  частини  на  соs2х ≠ 0,  
1 +  7 tg25x  -  8 tgx = 0,
   
7 tg25x  -  8 tgx  + 1 = 0.
      Оскільки  7 – 8 + 1 = 0,  то   tg5x1 = 1,                                tg5x2 = .
                                              5x1 =   +  πn,  n Z,         5x2 = arctg +  πn, n Z.                                              x1 = + n,    n Z,        
 x2 =  arctg + n,    n Z.
Відповідь:       + n,          arctg + n,    n Z.





7)  sin2x – 2 sinx cosx – 3 cos2x = 0.
Це рівняння є однорідним  другого степеня.
- при  cosx = 0    sinx = 0,     цього одночасно бути не може, оскільки       sin2x + cos2x = 1.
-  cosx ≠ 0.
Поділимо  обидві  частини  на  соs2х ≠ 0,  
     tg2x – 2tgx – 3 = 0.
    За теоремою  Вієта   tgx1 = 3,   tgx2 = 1.
x1 = arctg3 + πn,  n Z,         x2 =  +  πn,  n Z.        
Відповідь:   arctg3 + πn,   +  πn,  n Z.